द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)-2-📐📈🧠✔️

[Atul Kaviraje]

"World Encyclopedia"
Quadratic Equation: Algebraic equation of the second degree.

विश्वकोश: द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)-

6. मूलों और गुणांकों के बीच संबंध (Relationship Between Roots & Coefficients) 🤝
यदि
alpha और
beta समीकरण के मूल हैं, तो:

मूलों का योग:
alpha+
beta=−b/a

मूलों का गुणनफल:
alpha
cdot
beta=c/a

यह संबंध समीकरण को हल किए बिना ही मूलों के गुणों को समझने में मदद करता है।

7. इतिहास (History) 📜
द्विघात समीकरण का अध्ययन प्राचीन सभ्यताओं जैसे बेबिलोनिया, मिस्र, यूनान और भारत में किया गया था।

भारत: 🇮🇳 भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने 7वीं शताब्दी में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक सूत्र दिया था।

अरब: अरबी गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी ने इस क्षेत्र में महत्वपूर्ण कार्य किया।

8. उदाहरण: हल करना (Example: Solving) ✍️
समीकरण x
2
 +5x+6=0 को हल करें।

गुणनखंड विधि से: (x+2)(x+3)=0

मूल: x=−2 और x=−3

द्विघात सूत्र से: a=1,b=5,c=6

x=
frac−5pmsqrt5
2
 −4(1)(6)2(1)

x=
frac−5pmsqrt25−242

x=
frac−5pmsqrt12

x_1=
frac−5+12=−2 और x_2=
frac−5−12=−3

9. बीजगणितीय महत्व (Algebraic Importance) 💡
द्विघात समीकरण बहुपद (polynomial) समीकरणों की सबसे सरल प्रकार है। इनसे प्राप्त होने वाले हल (मूल) गणित और विज्ञान में कई महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं।

10. द्विघात असमिकाएँ (Quadratic Inequalities) ⚖️
द्विघात समीकरण की तरह ही, द्विघात असमिकाएँ भी होती हैं, जैसे ax
2
 +bx+c0 या $\< 0$। इन्हें हल करने के लिए भी समान सिद्धांतों का उपयोग होता है, लेकिन इनका हल एक अंतराल (interval) के रूप में आता है।

संक्षेप में, द्विघात समीकरण गणित का एक मूलभूत स्तंभ है, जिसका उपयोग न केवल अमूर्त समस्याओं को हल करने के लिए होता है, बल्कि हमारे चारों ओर की दुनिया को समझने और मॉडलिंग करने के लिए भी होता है। 🎓✨

ईमोजी सारांश: 📐📈🧠✔️

📐: गणितीय समीकरण

📈: परवलय ग्राफ

🧠: ज्ञान और सिद्धांत

✔️: समस्या हल करना

--संकलन
--अतुल परब
--दिनांक-25.09.2025-गुरुवार.
===========================================