वर्ग समीकरण (Quadratic Equation)-1-

[Atul Kaviraje]

जागतिक ज्ञानकोश: वर्ग समीकरण (Quadratic Equation)-

वर्ग समीकरण (Quadratic Equation) हे गणितातील एक बीजगणितीय समीकरण आहे ज्याची घात (power) दोन असते. त्याचे मानक रूप ax
2
 +bx+c=0 आहे, जिथे a, b, आणि c वास्तव संख्या आहेत आणि a
neq0 आहे. हे समीकरण गणिताच्या अनेक शाखा आणि वास्तविक जीवनातील समस्या सोडवण्यासाठी एक महत्त्वाचे साधन आहे. 📐🧠

1. व्याख्या आणि मानक रूप (Definition and Standard Form) 📝
वर्ग समीकरण हे असे समीकरण आहे ज्यात चलाची (variable) कमाल घात 2 असते.

मानक रूप: ax
2
 +bx+c=0

इथे x चल (variable) आहे.

a ला x
2
  चा सहगुणक (coefficient) म्हणतात.

b ला x चा सहगुणक म्हणतात.

c ला स्थिर पद (constant term) म्हणतात.

उदाहरण: 2x
2
 +5x−3=0 इथे a=2, b=5, c=−3 आहे.

2. वर्ग समीकरणाचा आलेख (Graph of a Quadratic Equation) 📈
जेव्हा कोणत्याही वर्ग समीकरणाचा आलेख काढला जातो, तेव्हा तो एक परवलय (parabola) चा आकार घेतो. 📉

परवलय: हा एक U-आकाराचा वक्र असतो.

शून्य (Zeros) किंवा मूळ (Roots): परवलय जिथे x-अक्षाला छेदतो, ते बिंदू समीकरणाची मुळे (roots) म्हणून ओळखले जातात. एका वर्ग समीकरणाला जास्तीत जास्त दोन मुळे असू शकतात.

3. मुळे शोधण्याचे मार्ग (Methods to Find the Roots) 🔢
वर्ग समीकरणाची मुळे शोधण्यासाठी अनेक पद्धती आहेत.

अवयव पद्धत (Factoring Method): यात समीकरणाला दोन रेषीय (linear) अवयवांमध्ये विभागले जाते.

पूर्ण वर्ग पद्धत (Completing the Square Method): या पद्धतीत समीकरणाला पूर्ण वर्ग म्हणून लिहून सोडवले जाते.

वर्ग सूत्र (Quadratic Formula): ही सर्वात सामान्य आणि सार्वत्रिक पद्धत आहे.

सूत्र: x=
frac−bpmsqrtb
2
 −4ac2a

4. विवेचक (Discriminant) 🧠
विवेचक (D) वर्ग समीकरणाच्या मुळांचे स्वरूप (nature of roots) निश्चित करतो. त्याचे मूल्य b
2
 −4ac असते.

जर D0: दोन वास्तव आणि भिन्न मुळे.

जर D=0: दोन वास्तव आणि समान मुळे.

जर $D \< 0$: कोणतेही वास्तव मूळ नाही (काल्पनिक मुळे).

5. वास्तविक जीवनात उपयोग (Applications in Real Life) 🚀🌉
वर्ग समीकरणाचा उपयोग विज्ञान आणि अभियांत्रिकीच्या अनेक क्षेत्रांमध्ये होतो.

प्रक्षेप्य गती (Projectile Motion): कोणत्याही वस्तूला फेकल्यावर तिच्या गतीला समजून घेण्यासाठी. ⚾️

अभियांत्रिकी: 🏗� पूल आणि इमारतींच्या डिझाइनमध्ये.

भौतिकशास्त्र: 🧪 कोणत्याही वस्तूची गती, अंतर आणि वेळेची गणना करण्यासाठी.

अर्थशास्त्र: 💰 खर्च आणि नफ्याची गणना करण्यासाठी.

--संकलन
--अतुल परब
--दिनांक-25.09.2025-गुरुवार.
===========================================