द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)-1-

[Atul Kaviraje]

"World Encyclopedia"
Quadratic Equation: Algebraic equation of the second degree.

विश्वकोश: द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)-

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) गणित में एक बीजगणितीय समीकरण है जिसकी घात (power) दो होती है। इसका मानक रूप ax
2
 +bx+c=0 है, जहाँ a, b, और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a
neq0 है। यह समीकरण गणित की कई शाखाओं और वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण है। 📐🧠

1. परिभाषा और मानक रूप (Definition and Standard Form) 📝
द्विघात समीकरण वह समीकरण है जिसमें चर (variable) की अधिकतम घात 2 होती है।

मानक रूप: ax
2
 +bx+c=0

यहाँ x चर (variable) है।

a को x
2
  का गुणांक (coefficient) कहा जाता है।

b को x का गुणांक कहा जाता है।

c को अचर पद (constant term) कहा जाता है।

उदाहरण: 2x
2
 +5x−3=0 यहाँ a=2, b=5, c=−3 है।

2. द्विघात समीकरण का ग्राफ (Graph of a Quadratic Equation) 📈
जब किसी द्विघात समीकरण को ग्राफ़ पर प्लॉट किया जाता है, तो यह एक परवलय (parabola) का आकार लेता है। 📉

परवलय: यह एक U-आकार का वक्र होता है।

शून्य (Zeros) या मूल (Roots): परवलय जहाँ x-अक्ष को काटता है, वे बिंदु समीकरण के मूल कहलाते हैं। एक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं।

3. मूल ज्ञात करने के तरीके (Methods to Find the Roots) 🔢
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए कई विधियाँ हैं।

गुणनखंड विधि (Factoring Method): इसमें समीकरण को दो रैखिक (linear) गुणनखंडों में विभाजित किया जाता है।

पूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square Method): इस विधि में समीकरण को एक पूर्ण वर्ग के रूप में लिखकर हल किया जाता है।

द्विघात सूत्र (Quadratic Formula): यह सबसे सामान्य और सार्वभौमिक विधि है।

सूत्र: x=
frac−bpmsqrtb
2
 −4ac2a

4. विविक्तकर (Discriminant) 🧠
विविक्तकर (D) द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति (nature of roots) निर्धारित करता है। इसका मान b
2
 −4ac होता है।

यदि D0: दो वास्तविक और भिन्न मूल।

यदि D=0: दो वास्तविक और समान मूल।

यदि $D \< 0$: कोई वास्तविक मूल नहीं (काल्पनिक मूल)।

5. वास्तविक जीवन में उपयोग (Applications in Real Life) 🚀🌉
द्विघात समीकरण का उपयोग विज्ञान और इंजीनियरिंग के कई क्षेत्रों में होता है।

प्रक्षेप्य गति (Projectile Motion): किसी वस्तु को फेंकने पर उसकी गति को समझने के लिए। ⚾️

अभियांत्रिकी: 🏗� पुलों और इमारतों के डिजाइन में।

भौतिकी: 🧪 किसी वस्तु की गति, दूरी और समय की गणना करने में।

अर्थशास्त्र: 💰 लागत और लाभ की गणना में।

--संकलन
--अतुल परब
--दिनांक-25.09.2025-गुरुवार.
===========================================